ESEIG - MAT - Comunicações em eventos científicos
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- Diferentes formas de multiplicarPublication . Soares, Filomena Baptista; Nunes, Maria PaulaA matemática é um edifício intelectual complexo, subtil, construído ao longo dos séculos sobre diversos princípios e regras lógicas. O tão “básico” algoritmo da multiplicação que “mecanicamente” utilizamos é o resultado de uma evolução histórica. Ao longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes lugares, desenvolveram variadas técnicas para multiplicar e aqui serão recordadas algumas. Desde o processo de duplicações sucessivas dos egípcios da Antiguidade, e de algumas variações a este, ao processo de multiplicação utilizando as mãos, dos camponeses franceses, passando pelo método da gelosia utilizado pelos árabes que, provavelmente, o aprenderam com os hindus, vários serão os métodos analisados à luz dos conhecimentos actuais. Para terminar, não poderá deixar de se abordar o algoritmo usual da multiplicação, frequentemente "ensinado” como se de uma “receita” se tratasse, justificando todos os seus “porquês”.
- Stackelberg duopoly with demand uncertaintyPublication . Pinto, Alberto A.; Ferreira, Fernanda A.; Ferreira, FlávioWe consider a symmetric Stackelberg model in which there is asymmetric demand information owned by first and second movers. We analyse the advantages of leadership and flexibility, and prove that when the leading firm faces demand uncertainty, but the follower does not, the first mover does not necessarily have advantage over the second mover. Moreover, we show that the advantage of one firm over the other depends upon the demand fluctuation and also upon the degree of substitutability of the products.
- Questões de linguagem: rigor versus compreensãoPublication . Soares, Filomena Baptista; Nunes, Maria PaulaO “imediatismo” característico da era da comunicação em que vivemos parece traduzir-se num “facilitismo linguístico” que, com o intuito de chegar a um maior número de pessoas, corre o risco de induzir a perda da principal característica de qualquer linguagem: a sua Universalidade. Este facto, (que podemos constatar abrindo a página das msg do telemóvel de “kualker adolxent”) também se verifica na Matemática, apesar desta ser uma linguagem mais “técnica” e Universal. Em prol da dita “compreensão” pelas “massas” abdica-se com uma frequência, algo assustadora, do rigor exigido pela “técnica” intrínseca à natureza de uma ciência, dita, exacta. Esta tendência parece difícil de contornar se não exigirmos a nós mesmos uma atenção constante no rigor da linguagem que utilizamos. Este rigor deverá surgir, quanto mais não seja, como uma formalização da linguagem “corrente” que utilizamos para uma melhor compreensão dos conceitos expostos. Pretendemos promover a discussão em torno de duas questões, quanto a nós extremamente importantes, e frequentemente perdidas num manancial de objectivos a cumprir e de competências a serem adquiridas: • A linguagem Matemática é (ou não) uma linguagem Universal? (com eventuais, mas nem sempre óbvias, adaptações à língua materna) • Não devemos ser nós, professores de Matemática, a insistir no rigor da linguagem que utilizamos diariamente? Se não formos nós quem mais o irá fazer?
- Abordagens não convencionais em manuais do ensino secundário: um exemploPublication . Soares, Filomena Baptista; Pascoal, António JoséOs matemáticos do séc. XIX só ficaram plenamente tranquilizados quando o conceito de limite se viu completamente “livre” de qualquer conotação "metafísica", ou seja, quando se soube, graças à astúcia genial dos “épsilon – delta” de Weierstrass, exprimir no estilo Arquimedes a ideia intuitiva de "verdadeiro valor" de uma quantidade indeterminada sem invocar os acréscimos "infinitamente pequenos” que, no entanto, tinham tido êxito no século XVIII. Mas o preço a pagar para apenas manipular conceitos bem definidos a partir das noções algébricas sobre os números, foi a “inversão” dos raciocínios na Análise, ou seja, o facto de que é necessário raciocinar ao contrário relativamente ao caminho heurístico e adivinhar a escolha estratégica “vencedora” em cada junção ou desdobramento lógico. Perante esta dificuldade o ensino da noção de limite viu-se “arrumado” para o 12º ano (para não dizer, aí minimizado) e os conceitos que dela dependem, como o de derivada, viram-se, nos anos anteriores, esvaziados de significado formal, sendo apresentados através de noções (próximas, mas não formais) das não convencionais reduzindo-se à expressão característica de “tende para”. Esta “tendência” não possui na Análise Clássica qualquer significado formal, e apesar de se poder considerar próxima da definição Não Convencional de limite, não lhe sendo feita qualquer referência, fica assim, impossibilitada qualquer formalização da “intuição” em questão, no entanto, pretendemos alertar, através de um exemplo, para uma “pseudo” utilização das suas noções e conceitos. Constatamos, mais uma vez, que a Análise Não Convencional parece ser um caminho possível para uma abordagem da Análise num nível não universitário.
- Separating sequential equilibrium in a Bayesian international duopolyPublication . Pinto, Alberto A.; Ferreira, Fernanda A.; Ferreira, FlávioWe consider two Cournot firms, one located in the home country and the other in the foreign country, producing substitute goods for consumption in a third country. We suppose that neither the home government nor the foreign firm know the costs of the home firm, while the foreign firm cost is common knowledge. We determine the separating sequential equilibrium outputs.
- Stackelberg leadership with demand uncertainty in a differentiated duopolyPublication . Ferreira, Fernanda A.; Ferreira, Flávio; Pinto, Alberto A.On a symmetric differentiated Stackelberg duopoly model in which there is asymmetric demand information owned by leading and follower firms, we show that the leading firm does not necessarily have advantage over the following one. The reason for this is that the second mover can adjust its output level after observing the realized demand, while the first mover chooses its output level only with the knowledge of demand distribution.
- Cournot model with investments to change the market sizePublication . Pinto, Alberto A.; Ferreira, Fernanda A.; Ferreira, Miguel; Oliveira, Bruno M. P. M.We present a new deterministic dynamical model on the market size of Cournot competitions, based on Nash equilibria of R&D investment strategies to increase the size of the market of the firms at every period of the game. We compute the unique Nash equilibrium for the second subgame and the profit functions for both firms. Adding uncertainty to the R&D investment strategies, we get a new stochastic dynamical model and we analyse the importance of the uncertainty to reverse the initial advantage of one firm with respect to the other.
- Strategic trade policy and signaling costs with differentiated goodsPublication . Ferreira, Fernanda A.; Moreira, Humberto A.; Pinto, Alberto A.We consider a trade policy model, where the costs of the home firm are private information but can be signaled through the output levels of the firm to a foreign competitor and a home policymaker. We compute the separating equilibrium and the Bayesian Nash equilibrium, and we compare the subsidies, firms’ expected profits and home government’s welfare in both equilibria, for different values of the own price effect parameter.
- Cournot duopoly with competition in the R&D expendituresPublication . Pinto, Alberto A.; Ferreira, Fernanda A.; Ferreira, Miguel; Oliveira, Bruno M. P. M.We present a new R&D investment in a Cournot Duopoly model and we analyze the different possible types of Nash R&D investments. We observe that the new production costs region can be decomposed in three economical regions, depending on the Nash R&D investment, showing the relevance of the use of patents in new technologies.
- International duopoly with unknown costsPublication . Ferreira, Fernanda A.; Pinto, Alberto A.We consider two firms, located in different countries, selling the same homogeneous good in both countries. In each country there is a non negative tariff on imports of the good produced in the other country. We suppose that each firm has two different technologies, and uses one of them according to a certain probability distribution. The use of either one or the other technology affects the unitary production cost. We analyse the effect of the production costs uncertainty on the profits of the firms and also on the welfare of the governments.